Защо е необходима математиката?

За решението на някои математически задачи е обявена награда от милион долара… Въпреки това тези задачи все още остават нерешени, без значение, че най-добрите математици са търсили решението им.

Как се развива математическата мисъл – разгадан ли е напълно този процес?

Защо да инвестираме много пари в абстрактни задачи? Нека да разгледаме сложния свят на математиката!

Вижте отговорите по тези и други въпроси на  кандидат на физико-математическите науки, ръководител на лабораторията за популяризиране и популяризиране на математиката към Математическия институт “Стеклов” на Руската академия на науките Николай Николаевич Андреев.

Математиката е начин за изследване на нашия свят

Математиката изучава нашия свят в неговата максимална абстракция. Физиците са свикнали да работят с прояви, а математиците работят с абстракция: те търсят онези свойства на нашия свят, които са пречистени от прояви, които могат да бъдат изучени и след това приложени. Има невероятна статия от нашия велик математик Манин, тя е озаглавена „Математиката – езикът за описване на възможностите“. В края на статията си Юрий Иванович цитира примера на шаман, който не е решил какво да прави с племето, но е дал съвет на водача на племето как да действа най-добре. И Юрий Иванович завършва със следните думи:

„Математиката описва фазовото пространство на реалния свят, пространството на възможностите. Тя изучава законите, които определят възможните траектории в това фазово пространство, както и условията, набора от информация, който е необходим за избор на конкретна фазова траектория. “

Тя /математиката/ по принцип казва на обществото, че вие ще направите това – ще вървите така, ще правите това – ще се развивате така. И това е толкова върховен поглед към математиката.

/Руският математик/ Алексей Николаевич Крилов сравнява математиката с работилница: математиците подготвят всякакви инструменти за различни нужди. И когато човечеството трябва да реши даден проблем, професорите по математика – учени, които са експерти в този набор от инструменти – дават на човечеството инструмента, необходим за решаването на поставените задачи: понякога грубо длето, понякога файл …

Непрекъснато се появяват все повече нови области. Математиката лека-полека се разширява и от новите граници стават видими областите, които могат да продължат да се изучават и които след това ще доведат до ползи за цялото човечество. Тук може да се даде много прост пример – статията „От„ лудата “геометрия на Лобачевски до GPS навигатори. Лобачевски излезе със собствена геометрия. Той почина, без дори да види нито един работещ модел. И разбира се, той не би могъл да си помисли, че тогава ще бъде създадена риманова геометрия. И по-късно, въз основа на римановата геометрия, Айнщайн ще създаде своите теории на относителността, специална и обща теория на относителността. И сега ние всеки ден, използвайки GPS-навигатор, използваме, наред с други неща, общата и специалната теория на относителността. Защото, ако не вземем предвид ефектите, които те дават, грешката при определяне на координатите на земята би била огромна и GPS няма да е необходим. Силата на математиката е, че по един или друг начин тези на пръв поглед абстрактни изследвания след това намират своето приложение за човечеството.

Изглежда ли светът само математически или е свойство на природата?

Светът, разбира се, е свойство на природата. Като цяло всички математици са платонисти. Има такава книга „Доказателство от книга“ – става дума за това, че някъде има писмени доказателства и ние, хората, можем да се доближим до тях. И наистина, понякога може да вземем дадено доказателство, то може да бъде много кратко, но да бъде много важно. Всъщност самата книга “Доказателство от книгата” започва с доказателството на Евклид за съществуването на безкраен брой прости числа. Доказателство, което  съществува вече много векове, но въпреки това е наистина много красиво, мощно и интересно! И понякога гледате и виждате, че все още не знаем нещо и затова доказателството е толкова сложно.

Математиката разсейва мъглата – тя изучава това, което все още не сме научили в нашия свят. Тя ви позволява да идентифицирате обект, като използвате формализация и абстракция от нещо, което вече е настроено към този обект. И тогава остава да приложим получените закони или към субекта, или към проблема – това вече зависи от това, от което се нуждае човечеството.

Математика около нас

Нека да поговорим за онези проявления на математиката в заобикалящия ни свят, които са ясни за всички, а от друга страна, разкриват математическия подход, математическия компонент.

Например, циклоидната крива даде възможност да се създаде първият изохронен часовник на махалото, в който периодът на трептене не зависи от амплитудата. Това бяха първите часове. Очевидно в техниката и технологиите има много математика. В училище всички са учили за параболата. Но има оптично свойство на параболата, а именно лъчите светлина, преминаващи успоредно на оста на параболата, след като се отразят от нея, попадат във фокус. Параболичните чинии, сателитните антени, които следят сателита, работят според този принцип. И ето един илюстративен прост пример, свързан с училищната математика.

Или да вземем цветове. Как компютрите ни дават цвят, как се подреждат, всичко се основава на математиката. Съвсем наскоро отпразнувахме 50-годишнината от лунното кацане, доставката на лунния марсоход на Луната. И през 1970 г. започна нашата съветска лунна програма и имаше устройство, което всички познаваме, а именно рефлектор, ъглов рефлектор. Три равнини са взаимно перпендикулярни една на друга и ако осветявате лъч върху тях, след отражение от трите огледала лъчът преминава успоредно на посоката, от която е дошъл. И няма значение откъде си блеснал, лъчът ще се върне при теб.

Ето защо рефлектора на велосипеда е направен от такива малки ъгли, взаимно перпендикулярни на три равнини. И когато осветите велосипедист с фаровете на автомобил, виждате отражение от рефлектора, въпреки че няма крушки. Но трябва да внимавате – тези, които вървят надясно и наляво, може да не видят отражението от рефлектора, защото светлината се връща към вас. Същата идея за отражение се използва и за ограничителите, когато пътят се обърне. На лунния марсоход беше инсталиран абсолютно същият рефлектор, същият комплект ъглови рефлектори. И досега този продължаващ експеримент за лазерно измерване на Луната позволява постоянно променящото се разстояние до Луната да бъде измерено с точност от няколко сантиметра, а може би дори милиметри. И само три самолета! Във физиката има закон: “Ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение” и тогава възниква математиката.

Или, да речем, пример, който непрекъснато отминаваме: защо чашите се правят във формата на конус? Можете да направите цилиндър или конус от лист хартия, защо да изберете конус? Поради факта, че чаши с тази форма могат да се вмъкват една в друга, а цилиндрични кофи или чаши не могат да се поставят, те трябва да се транспортират отделно. Виждаме същото нещо, когато пристигнат пътните служби и поставят конусите. Но конусът е гъвкава повърхност и би било неудобно да се използва само конична чаша. Изискваше се да му се придаде твърдост. Това изисква повърхност на поничка – в математиката тя се нарича „тор“. Както се оказа, дори малко парче „тор“, което съдържа кръг, е твърда повърхност. Изработена от същата тънка пластмаса, тя е не огъваща се повърхност. Въпрос: “Кои повърхности се огъват и кои не?” – това беше важна тема и все още продължава да занимава математиците. Разбира се, това не беше проучено заради чашите. Но след като сме изучили някои свойства, можем да приложим математически знания в различни области.

Доказателствата като основа на математиката

Когато се опитвате да разрешите дадена задача, трябва да преминете през множество различни варианти. И математиката веднага ви казва, че тези варианти може дори да не се разглеждат. Строгостта е силата на математиката.

Всъщност дори в рамките на математиката концепцията за доказателство се променяше. В дните на древна Индия беше достатъчно да нарисувате картина, от която следва доказателството, и да напишете: „Вижте“ – те вече смятаха това за доказателство. Ясно е, че сега такова доказателство дори не се разглежда, а се използва само като илюстрация. Един от големите, важни повратни моменти дойде по времето на Хилберт, който започна да систематизира доказателствата.

През 1900 г. на Международния конгрес по математика беше изнесена известната лекция на Хилберт, в която той постави своите известни „проблеми на Хилберт“, които бяха много престижни за решаване. И трябва да се отбележи, че повече от половината от решенията бяха решени от персонала на нашия институт. И тук ще насоча читателите към статията на Лев Дмитриевич Беклемишев, нашият академик, тя е интересно наречена: „Математика и логика“. Всъщност логиката понякога се нарича основа на математиката, защото доказателствата са предмет на изучаването на логиката. Много неща се родиха от логиката, които дори не подозираме, че се основават на логиката. Например базите данни са един от клоновете на тази наука. Лингвистиката също разчита много на логиката.

Искам да се сбогувам, за да ви върна в детството. Ще взема книгата „Математическият компонент“, където сме събрали всевъзможни сюжети на проявлението на математиката в нашия живот, и ще я отворя на страницата „Аритметични трикове“.

Намислете си число. Намислихте ли си?

Добавете към него 5. Добавихте ли?

Сега умножете резултата по 2. Умножихте ли го?

Извадете намисленото число от резултата. Извадихте ли го?

И още веднъж извадете намисленото число. Какво число получихте?

Ще ви кажа: 10.

Всъщност математиката опростява възгледа за живота. Ако запишем фокуса си като формула, ще изглежда много просто. И това добре изяснява въпроса. Ако учениците ни четяха, щях да им кажа: ако сега положите малко усилия и научите математика, тогава ще бъде много по-лесно да живеете по-късно. Когато по времето на Виет бяха въведени формули вместо думи, всичко стана ясно и прозрачно.